О РАЗРЕШИМОСТИ И ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ
ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТИПА СТЕФАНА
Ж.С. Азаматов
КазГУ им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан
В работе рассматривается разрешимость и численная реализация одной математической модели, описывающей движение газированной жидкости в пористой среде. При движении газированной нефти в пористой среде возникают две зоны: первая зона характеризуется как сжимаемая среда, а вторая зона – несжимаемая. Каждая зона характеризуется следующими параметрами: давлением 
, плотностью 
и скоростью фильтрации 
, которые подчиняются уравнению неразрывности, закону Дарси. Кроме того, граница между подобластями 
является неизвестной и подлежит определению. Зависимость между давлением и плотностью определена В.Н.Монаховым и имеет следующий вид: 
, если 
и 
, если 
, где 
- давление насыщения, 
. Тогда первая зона 
определяется следующим образом:
(1)
(2)
(3)
В (1)-(3) 
- пористость грунта, 
- коэффициент проницаемости грунта, 
- вязкость фильтрирующейся жидкости. На неизвестной границе
(4)
На нижнем основании 
задан расход массы:
(5)
Кроме того, в начальный момент времени известно положение свободной границы и распределение давления:
(6)
Без ограничения общности постоянные 
можно положить равными единице. Следует отметить, что разрешимость аналогичной задачи в малом по времени рассмотрена А.М.Мейрмановым, когда 
- заданная функция и 
при 
. В настоящей работе предложена разрешимость задачи (1)-(6) в целом по времени и предлагается численный алгоритм, реализованный на ПЭВМ. Доказательство теоремы существования в целом по времени следует из разрешимости квазилинейного параболического уравнения, а при построении численного алгоритма использованы массовые переменные Лагранжа.